Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin2x+5cos2x=25 trên đoạn [0;2π].

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức sin2x+cos2x=1.

- Đặt ẩn phụ t=5sin2x(t≥1), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.

- Giải phương trình tìm t.

- Sử dụng công thức hạ bậc: sin2x=1−cos2x2, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm x: cosx=cosα⇔x=±α+k2π(k∈ℤ).

- Giải bất phương trình 0≤x≤2π và tìm các nghiệm thỏa mãn.

Giải chi tiết:

Ta có:

5sin2x+5cos2x=25⇔5sin2x+51−sin2x=25⇔5sin2x+55sin2x=25

Đặt t=5sin2x(t≥1), phương trình trở thànht+5t=25⇔t2−25t+5=0 ⇔(t−5)2=0⇔t=5(tm).

⇒5sin2x=5=512⇔sin2x=12

⇔1−cos2x2=12⇔cos2x=0

⇔2x=π2+kπ⇔x=π4+kπ2(k∈ℤ)

Xét x∈[0;2π], ta có \[0 \le \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2} \le 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le k \le \frac{7}{2}\]. Mà k={0;1;2;3}.

⇒x={π4;3π4;5π4;7π4}.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [0;2π]là T=π4+3π4+5π4+7π4=4π.

Đáp án D.