Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2−2x−4y+6z−13=0 và đường thẳng d:x+11=y+21=z−11. Lấy điểm M(a; b; c) với a < 0 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA. MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là tiếp điểm) thỏa mãn ∠AMB=600,∠BMC=900,∠CMA=1200. Tổng a + b + c bằng

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; -3), bán kính R=33.

Đặt MA = MB = MC = a

Tam giác MAB có MA=MB∠AMB=600⇒ΔMAB đều ⇒AB=a.

Tam giác MBC có MB=MC=a∠BMC=900⇒ΔMBC vuông cân tại M⇒BC=a2.

Tam giác MCA có MC=MA=a∠MAC=1200,  áp dụng định lí Cosin trong tam giác ta tính được CA=a3.

⇒ΔABC vuông tại B (định lí Pytago đảo).

⇒ΔABC ngoại tiếp đường tròn đường kính AC bán kính R=HA=12AC=a32 (với H là trung điểm của AC).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông IAM ta có:

1HA2=1AM2+1IA2⇔43a2=1a2+127⇔a=3=MA=MB=MC.

⇒IM2=MA2+IA2=32+27=36

Vì M∈d:x+11=y+21=z−11 nên gọi M−1+t;−2+t;1+t.

⇒IM2=t−22+t−42+t+42=36

⇔3t2−4t=0⇔t=0t=43⇔M−1;−2;1M13;−23;73ktm

⇒a=−1,b=−2,c=1.

Vậy a+b+c=−1−2+1=−2.

Chọn C.