Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-20; 20] sao cho hàm số y=−2x+2+ax2−4x+5 có cực đại?

TXĐ: D=ℝ.

Ta có y'=−2+a.x−2x2−4x+5.

y"=a.x2−4x+5−x−2.x−2x2−4x+5x2−4x+5

y"=a.x2−4x+5−x−22x2−4x+5x2−4x+5=1x2−4x+5x2−4x+5

+ TH1: a=0⇒y=−2x+2 nghịch biến trên ℝ nên hàm số không có cực đại ⇒a=0 không thỏa mãn.

+ TH2: a≠0⇒a>0⇒y'>0a<0⇒y'<0

⇒ Hàm số đã cho có cực đại ⇔a<0 và phương trình y' = 0 có nghiệm.

Đặt t = x - 2 ta có y'=0⇔−2+a.tt2+1=0⇔at=2t2+1

⇔t≤0a2t2=4t2+4⇔t≤0a2−4t2=4⇔t≤0t2=4a2−4a≠±2*

⇒ Hệ phương trình (*) có nghiệm ⇔4a2−4≥0⇔a2−4>0⇔a>2a<−2.

Kết hợp điều kiện a<0,a∈−20;20 ta có a∈−20;−2.

Mà a∈ℤ⇒a∈−20;−19;−18;...;−3

Vậy có 18 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.