Cho hình chóp S.ABC có SA = 4, AB = 2, AC = 1 và SA⊥ABC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt cầu tâm O đi qua A và cắt các tia SB, SC lần lượt tại D và E. Khi độ dài đoạn thẳng BC thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ADE là:

Kẻ đường kính AM của (O)

Ta có BM⊥ABBM⊥SA⇒BM⊥SAB⇒BM⊥AD.

Lại có AD⊥DM (góc nội tiếp chắn nửa mặt cầu) ⇒AD⊥SBM⇒AD⊥SB.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có SDSB=SA2SB2=SA2SA2+AB2=4242+22=45.

Ta có AD⊥SBC⇒AD⊥DE⇒ΔADE vuông tại D

Chứng minh tương tự ta có AE⊥SCM⇒AE⊥SC.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có SESC=SA2SC2=SA2SA2+AC2=4242+12=1617.

Khi đó ta có VS.ADEVS.ABC=SDSB.SESC=45.1617=6485⇒VS.ADE=6485VS.ABC.

Do đó VS.ADE đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi VS.ABC đạt giá trị lớn nhất.

Ta có VS.ABC=13SA.SABC=16SA.AB.SC.sin∠BAC=16.4.2.1.sin∠BAC=43sin∠BAC đạt giá trị lớn nhất khi sin∠BAC=1⇔∠BAC=900.

Khi đó maxVS.ABC=43⇒maxVS.ADE=256255.

Chọn D.