Lời giải:

Xét hiệu:

(a+b)(b+c)(c+a)−4(a+b+c−1)=(a+b+c)(ab+bc+ac)−abc−4(a+b+c−1)

=(a+b+c)(ab+bc+ac)+3−4(a+b+c)=M

-------------------------

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

(ab+bc+ac)2≥3abc(a+b+c)=3(a+b+c)

⇒ab+bc+ac≥√3(a+b+c). Đặt √3(a+b+c)=t⇒a+b+c=t23

AM-GM: a+b+c≥33√abc=3⇒t=√3(a+b+c)≥3

Khi đó:

M≥(a+b+c)√3(a+b+c)+3−4(a+b+c)=t23.t+3−4t23

=(t−3)(t2−t−3)3=(t−3)[t(t−3)+4(t−3)+9]3≥0 với mọi t≥3

Vậy M≥0, hay (a+b)(b+c)(c+a)≥4(a+b+c−1) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi