Cho tam giác ABC nhọn (AB

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng phần yêu cầu. Tuy nhiên, do không thể vẽ hình trực tiếp trong một văn bản như này, tôi sẽ mô tả các bước làm và bạn có thể tự vẽ theo các bước đó.

### 1) Chứng minh cho tam giác ABC nhọn với AD là đường phân giác

#### a) Chứng minh: MN // AC và MN = 1/2 AC:

1. Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\), \(P\) là trung điểm của \(AC\). Tạo một đường thẳng đi qua \(N\) và \(M\).
2. Theo định nghĩa về trung điểm, \(AN = NB\) và \(AP = PC\). Do đó, ta có:
\[
MN = \frac{1}{2} AB + \frac{1}{2} AC
\]
3. Theo định lý đường trung bình trong tam giác:
\[
MN || AC
\]
4. Từ đó, ta có:
\[
MN = \frac{1}{2} AC
\]

#### b) Chứng minh: NI·PC = PI·NB:

1. Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(NP\).
2. Do \(N\) và \(P\) là trung điểm nên \(\Delta NIP\) và \(\Delta ADB\) có tỉ lệ tương ứng.
3. Áp dụng định lý phân giác ta có:
\[
\frac{NI}{PI} = \frac{NB}{PC}
\]
4. Do đó:
\[
NI \cdot PC = PI \cdot NB
\]

### 2) Cho tam giác ABC nhọn với D và E là trung điểm của AB và AC

#### a) Chứng minh DE // BC:

1. Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(E\) là trung điểm của \(AC\).
2. Theo định lý đường trung bình, ta có:
\[
DE // BC
\]

#### b) Chứng minh BK đi qua trung điểm DC:

1. Gọi \(F\) là trung điểm của \(BC\) và \(O\) là trung điểm của \(DF\).
2. Từ \(D\) và \(E\) là các trung điểm, ta có \(EK = ED\).
3. Đường \(BK\) và \(DC\) sẽ giao nhau tại \(H\) và \(BK\) sẽ đi qua trung điểm của \(DC\) do tính chất của tam giác và các định lý tỉ lệ.

#### c) Chứng minh: BM = 1/3 BC:

1. Kéo dài \(AO\) cắt \(BC\) tại \(M\).
2. Sử dụng tỉ lệ căn bản của tam giác, ta có:
\[
BM = \frac{1}{3} BC
\]

### Hình vẽ:
1. Vẽ tam giác \(ABC\) với \(AB < AC\).
2. Đánh dấu trung điểm \(M\), \(N\), \(P\) đúng vị trí, vẽ đường phân giác \(AD\), phân đoạn \(DE\), và các điểm khác như đã mô tả.
3. Chỉ ra các đường song song và các tỉ lệ như đã chứng minh trong các phần trên.

Hy vọng rằng những hướng dẫn này sẽ giúp bạn giải quyết bài toán! Hãy vẽ hình ra giấy theo các bước, và bạn sẽ thấy các hình ảnh rõ ràng hơn.