Chương 2 : Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu

Bài 2 : Mặt cầu

Bài 4 (trang 49 SGK Hình học 12): Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

Lời giải:

*Xét mặt cầu (S) có tâm O, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC tại M, N, P. H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC), ta có:

OM ⊥ AB => BM ⊥ AB

(theo định lí ba đường vuông góc)

Tương tự: HN ⊥ BC, HP ⊥ AC

Ta có: OM = ON = OP = R

Khi đó ΔOHM = ΔOHN = ΔOHP

Suy ra HM = HN = HP

Chứng tỏ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vậy tâm O của mặt cầu thuộc đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại tâm H của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

*Lấy điểm O thuộc trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại N, P, M, ta có: HM ⊥ AB, HN ⊥ BC, HP ⊥ CA

OM ⊥ AB, ON ⊥ BC, OP ⊥ CA (1)

Mặt khác: HM = HN = HP => ΔOHM = ΔOHN = ΔOHP

OM = ON = OP (2)

Từ (1) và (2) suy ra mặt cầu (S) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC. Vậy tập hợp tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.