a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = x^3 + 3x^2 - x + 1 tại điểm có hoành độ bằng 1 có thể tìm bằng cách tính đạo hàm của hàm số và thay x = 1 vào đạo hàm để tìm giá trị của độ dốc của tiếp tuyến.

Đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 + 3x^2 - x + 1 là f'(x) = 3x^2 + 6x - 1.

Vậy độ dốc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là f'(1) = 3*1^2 + 6*1 - 1 = 8.

Giá trị y tương ứng với x = 1 là y = 1^3 + 3*1^2 - 1 + 1 = 4.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm (1,4) có dạng: y - y1 = m(x - x1) => y - 4 = 8*(x - 1) => y = 8x - 4.

b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x + 2 nghĩa là tiếp tuyến cũng có độ dốc bằng -1. Vì vậy, chúng ta cần tìm x sao cho f'(x) = -1.

Giải phương trình 3x^2 + 6x - 1 = -1 ta thu được: 3x^2 + 6x - 1 + 1 = 0 => 3x^2 + 6x = 0 => x(x + 2) = 0.

Phương trình trên có hai nghiệm là x = 0 và x = -2.

Giá trị y tương ứng với x = 0 là y = 1 và với x = -2 là y = -2^3 + 3*(-2)^2 + 2 + 1 = -8 + 12 + 2 + 1 = 7.

Vậy hai phương trình tiếp tuyến song song với y = -x + 2 là: y - 1 = -1*(x - 0) => y = -x + 1 và y - 7 = -1*(x + 2) => y = -x - 2 + 7 => y = -x + 5.