Để phương trình có 2 nghiệm thì delta phải lớn hơn 0:

Δ = (2(m+1))² - 4(m² + 2m) > 0

Simplify: m² - 6m - 3 > 0

Giải phương trình bậc 2 này ta được:

m < 3 - 2√2 hoặc m > 3 + 2√2

Để tìm m sao cho x₁² + x₂² nhỏ nhất, ta sử dụng định lí Vi-ét:

x₁ + x₂ = 2(m+1)

x₁x₂ = m² + 2m

Ta có:

(x₁ + x₂)² = x₁² + x₂² + 2x₁x₂

⇒ x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

⇒ x₁² + x₂² = [2(m+1)]² - 2m² - 4m

⇒ x₁² + x₂² = 4m² + 8m + 4 - 2m² - 4m

⇒ x₁² + x₂² = 2m² + 4m + 4

⇒ x₁² + x₂² = 2(m + 2)²

Do đó, để x₁² + x₂² nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của (m + 2)², tức là giá trị nhỏ nhất của (m + 2).

Vì m < 3 - 2√2 hoặc m > 3 + 2√2, nên giá trị nhỏ nhất của (m + 2) là khi m = 3 - 2√2.

Vậy, để phương trình có 2 nghiệm và x₁² + x₂² nhỏ nhất, ta cần tìm m = 3 - 2√2.