a) Ta có:

• Góc MIN = 90 độ (do tam giác MNP vuông tại M).
• Góc NIK = góc PIN (do đường NI là đường phân giác của góc MNP).
• Góc KIN = 90 độ (do IK vuông góc với NP).
• Từ đó, ta có tam giác IMK đồng dạng với tam giác IKN theo góc-góc-góc.

b) Ta có:

• Góc MIN = 90 độ (do tam giác MNP vuông tại M).
• Góc NIK = góc PIN (do đường NI là đường phân giác của góc MNP).
• Góc KIN = 90 độ (do IK vuông góc với NP).
• Từ đó, ta có tam giác IMN đồng dạng với tam giác IPN theo góc-góc-góc.
• Vì MN < MP, nên ta có IM < IP theo bổ đề cạnh - góc - cạnh trong tam giác đồng dạng.

c) Ta có:

• Góc NIK = góc PIN (do đường NI là đường phân giác của góc MNP).
• Góc KIN = 90 độ (do IK vuông góc với NP).
• Từ đó, ta có tam giác QIK đồng dạng với tam giác QIN theo góc-góc-góc.
• Vậy góc QIK = góc QIN.
• Ta có QD là đường cao của tam giác QIP, nên QD vuông góc với IP.
• Từ đó, ta có góc QDI = góc QIP - góc IDP.
• Nhưng góc QIP = góc QIK (do tam giác QIK đồng dạng với tam giác QIP), và góc IDP = góc NIK (do NP song song với DK và NI song song với MP, nên góc IDP bằng góc NIK).
• Vậy góc QDI = góc QIK - góc NIK.
• Nhưng ta đã có góc QIK = góc QIN và góc NIK = góc PIN, nên góc QDI = góc QIN - góc PIN = 0.
• Từ đó, ta có ND vuông góc với QP.
• Vì tam giác QIK đồng dạng với tam giác QIN, nên góc QIK = góc QIN.
• Từ đó, ta có góc QIP = 2góc QIK.