Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương để biến đổi biểu thức ban đầu thành một biểu thức khác dễ dàng tính toán hơn.

Ta có:

A = (3x² - 8x + 6)/(x² - 2x + 1)

= [(3x² - 6x + 1) + (5x - 5)]/[(x - 1)²]

= [(√3x - √1)² + 5(x - 1)]/[(x - 1)²]

= [(√3x - 1)² + 5(x - 1)]/[(x - 1)²]

Đặt t = √3x - 1, ta có:

A = [t² + 5(t + 2)]/(t + 1)²

= [(t + 1)² + 4(t + 2)]/(t + 1)²

= 1 + 4/(t + 1)² + 8/(t + 1)

Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của A bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4/(t + 1)² và 8/(t + 1), sau đó cộng kết quả với 1.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của 4/(t + 1)², ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

4/(t + 1)² = (2/(t + 1))²

≥ 4√[2/(t + 1)]/(t + 1)

= 4√2/(t + 1)³/₂

Để biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của (t + 1)³/₂.

Ta có:

t = √3x - 1

⇔ t + 1 = √3x

⇒ (t + 1)³/₂ = 3√3x/2

Vậy giá trị nhỏ nhất của 4/(t + 1)² là 4√2/(t + 1)³/₂ = 8/(3√3x).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của 8/(t + 1), ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

8/(t + 1) = 4/(t + 1)/₂

≥ 4√(4/(t + 1))

= 8/√(t + 1)