Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần.

1) **Tứ giác ABCD là hình gì?**

Vì \(\triangle ABC\) vuông tại B và cân, nên:
- \(AB = BC\).
- O là trung điểm của AC, do đó \(AO = OC\).
- D là điểm đối xứng của B qua O, nên \(OB = OD\) và \(\angle AOB = \angle COD\).

Từ các điều kiện trên, ta có thể thấy rằng tứ giác ABCD là hình thang vuông, với AB và CD là hai cạnh đáy.

2) **Chứng minh: \(\triangle MAN\) là tam giác vuông cân.**

- Ta có \(M\) và \(N\) được xác định là các điểm trên các cạnh với tính chất đối xứng.
- Vì \(DN = BM\) theo đề bài, và với các đường chéo AD và BC cũng giống hệt nhau, \(AM = AN\).
- Do vậy, \(\triangle MAN\) có tính chất hai cạnh bằng nhau và hợp với nhau tại điểm A (góc vuông), nên \(\triangle MAN\) là tam giác vuông cân.

Tóm lại, các chứng minh trên cho thấy tứ giác ABCD là hình thang vuông và tam giác MAN là tam giác vuông cân.