a) Chứng minh: Tam giác MHC = Tam giác MKB

Chúng ta có:

• MH = MK (theo điều kiện)
• Góc MHC = góc MKB = 90 độ (do MH ⊥ AC và MK trên tia đối của tia MH)
• Góc HMC = góc BKM (do tam giác ABC vuông tại A và AM là trung tuyến nên ∠BAM = ∠CAM = ∠BKM = ∠HMC)

Theo nguyên tắc ba góc và một cạnh, tam giác MHC = tam giác MKB.

b) Chứng minh: AB // MH và BK < MC

Do tam giác MHC = tam giác MKB (đã chứng minh ở trên) nên ∠MHC = ∠MKB. Vì vậy, AB // MH (vì ∠BAC = ∠MHC).

Ngoài ra, BK = MK - MB = MH - MB = MC - 2MB < MC (vì MB > 0).

c) Gọi G là giao điểm của BH và AM, I là trung điểm của AB. Chứng minh: C, G, I thẳng hàng

Chúng ta có:

• I là trung điểm của AB nên AI = 1/2 AB và AI // MH (vì AB // MH đã chứng minh ở trên). Như vậy, tam giác AMI và tam giác HMC đồng dạng theo tỉ số 1/2.
• G là giao điểm của BH và AM nên BG // MI (theo định lý Ceva cho tam giác ABC và ba đường thẳng AM, BH, CI).
• Vì vậy, đường thẳng CG chứa đỉnh C của tam giác và trung điểm I của cạnh đối diện, và nó cũng chứa G. Như vậy, C, G, I thẳng hàng.