Để chứng minh rằng phương trình bậc hai đều có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m, ta sẽ sử dụng công thức delta của phương trình bậc hai.

Phương trình bậc hai có dạng: ax^2 + bx + c = 0

Ở đây, a = 1, b = 2(m + 2), c = m + 1.

Công thức delta của phương trình bậc hai là: delta = b^2 - 4ac

Thay các giá trị vào, ta có: delta = (2(m + 2))^2 - 4(1)(m + 1)
                                      = 4(m^2 + 4m + 4) - 4(m + 1)
                                      = 4m^2 + 16m + 16 - 4m - 4
                                      = 4m^2 + 12m + 12

Để chứng minh rằng phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m, ta cần chứng minh rằng delta luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của m.

Ta có: delta = 4m^2 + 12m + 12
            = 4(m^2 + 3m + 3)

Để xem xét giá trị của delta, ta chỉ cần xem xét dấu của m^2 + 3m + 3 với mọi giá trị của m.

Để chứng minh rằng m^2 + 3m + 3 luôn lớn hơn 0 với mọi m, ta có thể sử dụng định lý delta hoặc hoàn thiện bình phương.

Vì vấn đề này không yêu cầu sử dụng công thức toán học phức tạp, ta chỉ cần nhìn vào biểu thức m^2 + 3m + 3 và thấy rằng nó là một đa thức bậc hai với hệ số dương. Do đó, ta có thể kết luận rằng m^2 + 3m + 3 luôn lớn hơn 0 với mọi m.

Vậy, delta = 4(m^2 + 3m + 3) luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của m, từ đó suy ra rằng phương trình bậc hai x^2 + 2(m+ 2).x + m +1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Ta có :
Δ' = b'^2 -ac = (m+2)^2 - 1*(m+1)
                     = m^2 + 4m + 4 -m -1 
                     = m^2 +3m +3 
                     = m^2 + 2*3/2*m + 4/9 + 23/9
                     = ( m +2/3)^2 +23/9 >0 với mọi m