a. Ta có:

• Tam giác ABC cân tại A nên BD là đường cao và BE = EC.
• EF là đường cao của tam giác EAB nên H là trung điểm của AB.
• Ta có BE = EC nên tam giác HBE = tam giác HCE (cùng có 1 góc vuông và 1 góc bằng nhau).
• Ta cũng có tam giác HCE = tam giác FEB (cùng có 1 góc vuông và 1 góc bằng nhau).
  Vậy tam giác HBE = tam giác FEB.

b. Ta có:

• Tam giác ABC cân tại A nên BD là đường cao và BE = EC.
• EF là đường cao của tam giác EAB nên EF ≤ AB.
• G là chân đường cao từ E xuống AC nên EG ≤ EC.
• Từ BE = EC, ta có BD = 2BE.
  Vậy EF + EG = (AB - AF) + (EC - AG) = AB + EC - (AF + AG) = AB + EC - BD = AB + EC - 2BE = AE ≤ BD.

c. Ta có:

• Trên tia đối CA lấy điểm K sao cho KC = BF, ta có tam giác BKF cân tại B.
• Do đó, đường thẳng FK là đường trung trực của BC và I là trung điểm của FK.

d. Ta có:

• Tam giác ABC cân tại A nên BD là đường cao và BE = EC.
• Ta cần tìm E trên BC sao cho tam giác EGH vuông cân tại G.
• Ta có tam giác EGH vuông cân tại G khi và chỉ khi EG = GH.
• Ta có EG = EC - GC và GH = BD - BG = BD - BC + GC.
• Vậy ta cần tìm E trên BC sao cho EC - GC = BD - BC + GC.
• Tương đương với 2EC = BD + 2GC - BC.
• Từ đó suy ra E nằm ở trung điểm của BC.