Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức MA.BC < MC.AB + MB.AC bằng phương pháp bình phương.

Áp dụng định lý bình phương độ dài đoạn thẳng, ta có:
MA^2 = MC^2 + CA^2 - 2.MC.CA.cos(MCA)
MB^2 = MC^2 + CB^2 - 2.MC.CB.cos(MCB)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với BC, ta được:
MA^2.BC^2 = (MC^2 + CA^2 - 2.MC.CA.cos(MCA)) * BC^2 MB^2.AC^2
= (MC^2 + CB^2 - 2.MC.CB.cos(MCB)) * AC^2

Lấy hiệu của hai bên của bất đẳng thức, ta có:
MA^2.BC^2 - MB^2.AC^2
= (MC^2 + CA^2 - 2.MC.CA.cos(MCA)) * BC^2 - (MC^2 + CB^2 - 2.MC.CB.cos(MCB)) * AC^2

Mở ngoặc và rút gọn, ta có:
MA^2.BC^2 - MB^2.AC^2
=MC^2 * (BC^2 - AC^2) + CA^2 * (BC^2 - 2.BC.CB.cos(MCB)) + CB^2 * (AC^2 - 2.AC.CA.cos(MCA))

Ta sẽ chứng minh rằng biểu thức
MA^2.BC^2 - MB^2.AC^2 > 0
 tức là: MC^2 * (BC^2 - AC^2) + CA^2 * (BC^2 - 2.BC.CB.cos(MCB)) + CB^2 * (AC^2 - 2.AC.CA.cos(MCA)) > 0

Vì MC, BC, AC, CB, cos(MCB), cos(MCA) đều là các giá trị không âm, nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra:
MC^2 * (BC^2 - AC^2) + CA^2 * (BC^2 - 2.BC.CB.cos(MCB)) + CB^2 * (AC^2 - 2.AC.CA.cos(MCA)) > 0

Từ đó, suy ra MA^2.BC^2 - MB^2.AC^2 > 0 và với điều kiện MA, BC, AC, CB là các độ dài dương, ta có: MA.BC < MC.AB + MB.AC

Vậy bất đẳng thức MA.BC < MC.AB + MB.AC đã được chứng minh.