a) Ta có:

• AD là phân giác góc ∠BAC
• PD song song với AB nên ∠ADP = ∠BAC
• PN song song với AC nên ∠APN = ∠BAC

Suy ra ∠ADP = ∠APN. Do đó, tứ giác MPDN là tứ giác nội tiếp và MPN là tứ giác điều hòa. Do đó, ta có MP/MN = DP/DN và MD/ND = MP/NP.

Sử dụng định lí trung tuyến, ta có BC song song với MN và BM = MC. Do đó, ta có ∠BMP = ∠MNC. Cộng thêm ∠MNP = ∠MBC, ta có ∠MPN = ∠BAC.

Khi đó, tứ giác MPDN nội tiếp trong đường tròn (P). Từ đó, suy ra bốn điểm P,M,D,N cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có ∠NPM = ∠NPB và ∠MPN = ∠MAC. Do đó, ta có ∠NPM + ∠MPN = ∠NPB + ∠MAC = 180°, hay tam giác PMN là tam giác cân tại P.

c) Do tứ giác MPDN nội tiếp trong đường tròn (P), ta có ∠MDN = ∠MPN và ∠MDP = ∠MNP. Từ đó, suy ra tứ giác PNQD nội tiếp trong đường tròn (Q), hay ∠QPN = ∠QDN = ∠MON.

Khi đó, tam giác QMN và tam giác QPN đồng dạng nên ta có:

Do đó, tứ giác MPNQ nội tiếp trong đường tròn (Q), hay ∠MPN = ∠MQN = 1/2 ∠MQO. Từ đó, suy ra ∠Q4MN = ∠Q4PN = 1/2 ∠MQO = 1/2 ∠MON.