a) Ta cần chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
Đầu tiên, từ đường cao BE của tam giác ABC, ta có: ∠BEA = 90°.
Tương tự, từ đường cao CF của tam giác ABC, ta có: ∠CFA = 90°.

Giả sử tứ giác BCEF không nội tiếp. Khi đó, tứ giác BCEF không thể có hai góc vuông ∠BEA và ∠CFA cùng tồn tại. Điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì vậy giả sử sai. Do đó, ta kết luận tứ giác BCEF nội tiếp.

b) Ta cần chứng minh EF. BO = BC. AI.
Vì tứ giác BCEF nội tiếp, ta có: ∠BEF = ∠BCF (cùng chắn cung BF trên (O)).
Tương tự, ta có: ∠BFE = ∠BCE (cùng chắn cung CE trên (O)).

Do đó, tam giác BFE và tam giác BCA tương đồng theo góc. Vì vậy, ta có tỷ lệ đồng dạng:

EF / BC = BF / BA

Từ tam giác AHI cân tại I, ta có AI = HI.

Vậy, ta có: EF / BC = BF / BA = BF / 2AI (vì I là trung điểm AH)

Đồng thời, từ tam giác BCO cân tại O, ta có BO = BC.

Kết hợp hai công thức trên, ta có: EF. BO = 2AI. BF = BC. AI.

c) Ta cần chứng minh PM || HK.

Vì tứ giác BCEF nội tiếp, ta có: ∠EFC = ∠EBC (cùng chắn cung EC trên (O)).
Tương tự, ta có: ∠ECF = ∠ECB (cùng chắn cung EB trên (O)).

Từ hai công thức trên, ta có:

∠EFC + ∠ECF = ∠EBC + ∠ECB

∠EFB = ∠EBC + ∠ECB

Nhưng ta biết rằng tứ giác BCEF nội tiếp, nên:

∠EFB + ∠EBC = 180°

Kết hợp hai công thức trên, ta có:

∠EBC + ∠ECB + ∠EBC = 180°

2∠EBC + ∠ECB = 180°

Do đó, ta có ∠EBC + ∠ECB = 180° - 2∠EBC

Nhưng ta biết rằng ∠EBC = ∠HKC (do HKCB là tứ giác nội tiếp).

Vậy, ta có: ∠HKC + ∠ECB = 180° - 2∠EBC

Nhưng ∠ECB = ∠PMH (do PM

HE là tứ giác nội tiếp).

Vậy, ta có: ∠HKC + ∠PMH = 180° - 2∠EBC

Nhưng 180° - 2∠EBC = 2∠EBC (do ∠EBC + ∠ECB = 180° - 2∠EBC)

Vậy, ta có: ∠HKC + ∠PMH = 2∠EBC

Nhưng ∠EBC = ∠PMH (do PMHE là tứ giác nội tiếp).

Vậy, ta có: ∠HKC = ∠PMH

Do đó, ta kết luận PM || HK.