Để chứng minh phương trình 2x^2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m, ta cần kiểm tra điều kiện để đa thức bậc hai này có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu delta (Δ) của phương trình lớn hơn 0, với Δ = b^2 - 4ac.

Áp dụng vào phương trình 2x^2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0, ta có:
a = 2, b = 2m - 1, c = m - 1

Tính delta (Δ):
Δ = b^2 - 4ac = (2m - 1)^2 - 4(2)(m - 1) = 4m^2 - 4m + 1 - 8m + 8 = 4m^2 - 12m + 9

Để chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m, ta cần chứng minh rằng Δ > 0.

Δ = 4m^2 - 12m + 9 = 4(m^2 - 3m) + 9

Với mọi giá trị của m, ta thấy rằng m^2 - 3m ≥ 0 vì đây là một hàm bậc hai với hệ số của a (2) là dương.

Do đó, ta có: 4(m^2 - 3m) + 9 > 0

Vậy, Δ > 0 và phương trình 2x^2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.