Ta có:

- AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên OA vuông góc với cả AB và AC tại B và C.
- Gọi H là giao điểm của BC và OA. Khi đó, ta có: $\widehat{OHB} = \widehat{OAB} = \widehat{OAC} = \widehat{OHC}$, suy ra OH là đường trung trực của BC.
- Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó, ta có: OM vuông góc với BC và OH là đường trung trực của BC, suy ra OH đi qua M.
- Từ tam giác ADE, ta có: $\widehat{DAE} = \widehat{DBE} = \widehat{DCE}$. Do đó, tức là tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
- Vì vậy, ta có: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} \Rightarrow AD.AE = AB.AC$.
- Ta có: $\widehat{OAB} = \widehat{OAE} + \widehat{EAB} = \widehat{OAE} + \widehat{DAC} = \widehat{OAC} + \widehat{OAE} = \widehat{CAE}$, suy ra tam giác AOE cân tại O.
- Khi đó, ta có: $AO = OE$. Từ đó, ta suy ra: $AH.AO = AH.OE = AE.OH = AD.AE$ (do tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC).
- Vậy ta đã chứng minh được: $OA \perp BC$ và $AH.AO = AD.AE$.