Ta có:

- Đường trung tuyến BD chia tam giác ABC thành hai tam giác BDC và ABD.
- Đường trung tuyến CE chia tam giác ABC thành hai tam giác AEC và ABC.
- G là giao điểm của BD và CE.
- Vì BD là đường trung tuyến của tam giác BDC nên BD song song với đường BC và có độ dài bằng một nửa độ dài BC. Tương tự, CE song song với đường BC và có độ dài bằng một nửa độ dài BC.
- Khi đó, ta có BG = GD và CG = GE.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BGC, ta có:

cos(GBC) = (BG^2 + GC^2 - BC^2) / (2BG x GC)

Do BG = GD và CG = GE nên:

BG^2 + GC^2 = GD^2 + GE^2

Và do BD song song với BC nên tam giác BGD và tam giác CEG đồng dạng, suy ra:

GD / BG = GE / CG

Tương đương với:

GD x CG = GE x BG

Kết hợp với công thức cosin ở trên, ta có:

cos(GBC) = (GD^2 + GE^2 - BC^2) / (2GD x GE)

= (GD x CG + GE x BG - BC^2) / (2GD x GE)

= (GE x BG + GE x BG - BC^2) / (2GD x GE)

= (2GE x BG - BC^2) / (2GD x GE)

= GE / GD x (2BG / BC - BC / 2BG)

Do BD < CE nên BG < GC và 2BG / BC < 1. Suy ra:

2BG / BC - BC / 2BG < 1 - 1/2 = 1/2

Vậy:

cos(GBC) < GE / GD x 1/2

Do đó, góc GBC > góc GCB.