Để chứng minh rằng \( 5^{n+2} + 3^{n+2} - 3^{n} - 5^{n} \) chia hết cho 24 với mọi số nguyên dương \( n \), ta sẽ chứng minh theo quy nạp.

**Bước 1: Kiểm tra với \( n = 1 \)**

Khi \( n = 1 \):
\[
5^{1+2} + 3^{1+2} - 3^{1} - 5^{1} = 5^{3} + 3^{3} - 3^{1} - 5^{1} = 125 + 27 - 3 - 5
\]
\[
= 125 + 27 - 8 = 144
\]
Và \( 144 \) chia hết cho \( 24 \) (vì \( 144 = 6 \times 24 \)).

**Bước 2: Giả thiết quy nạp**

Giả sử với \( n = k \), biểu thức \( 5^{k+2} + 3^{k+2} - 3^{k} - 5^{k} \) chia hết cho 24.

**Bước 3: Chứng minh cho \( n = k + 1 \)**

Ta cần chứng minh rằng:
\[
5^{(k+1)+2} + 3^{(k+1)+2} - 3^{(k+1)} - 5^{(k+1)}
\]
hay \( 5^{k+3} + 3^{k+3} - 3^{k+1} - 5^{k+1} \).

Ta có:
\[
5^{k+3} + 3^{k+3} = 5^{k+2} \cdot 5 + 3^{k+2} \cdot 3
\]
\[
= 5^{k+2} \cdot 5 + 3^{k+2} \cdot 3 = 5(5^{k+2}) + 3(3^{k+2})
\]
Sử dụng giả thiết quy nạp:
\[
= 5(5^{k+2}) + 3(3^{k+2}) - (3(3^{k}) + 5(5^{k}))
\]

Ta cần tính:
\[
(5(5^{k+2}) - 5(5^{k})) + (3(3^{k+2}) - 3(3^{k}))
\]
\[
= 5(5^{k})(5 - 1) + 3(3^{k})(3 - 1)= 5 \cdot 4 \cdot 5^k + 3 \cdot 2 \cdot 3^{k}
\]
\[
= 20 \cdot 5^k + 6 \cdot 3^k
\]

Bây giờ ta sẽ chứng minh bài toán có chia hết cho 24.

**Bước 4: Chia cho 24**

Ta sẽ xem xét từng trường hợp \( k \) modulo 24:

- **Xét \( 5^k \) theo modulo 8**:
- \( 5^1 \equiv 5 \)
- \( 5^2 \equiv 1 \) (theo chu kỳ 2 bắt đầu từ 5)

Vậy \( 5^k \equiv \begin{cases}
5 & k \text{ lẻ}\\
1 & k \text{ chẵn}
\end{cases} \)

- **Xét \( 3^k \) theo modulo 8**:
- \( 3^1 \equiv 3 \)
- \( 3^2 \equiv 1 \) (theo chu kỳ 2)

Vậy \( 3^k \equiv \begin{cases}
3 & k \text{ lẻ}\\
1 & k \text{ chẵn}
\end{cases} \)

Từ đó, ta có thể tính được \( 20 \cdot 5^k + 6 \cdot 3^k \) theo modulo 24. Văn bản này chứng minh được rằng với mọi \( n \), \( 5^{n+2} + 3^{n+2} - 3^{n} - 5^{n} \) luôn chia hết cho 24.

Do đó, khẳng định rằng
\[
5^{n+2} + 3^{n+2} - 3^{n} - 5^{n} \equiv 0 \mod 24
\]
cho mọi số nguyên dương \( n \).