Gọi số được viết trên mỗi tấm thẻ là a1, a2, …, a100. Ta cần chứng minh rằng a1 = a2 = … = a100.

Giả sử không phải tất cả các số được viết trên các tấm thẻ đều bằng nhau. Khi đó, ta có thể chọn hai tấm thẻ bất kỳ sao cho số được viết trên chúng khác nhau. Gọi hai số này lần lượt là x và y (x < y).

Ta xét tập các số được viết trên các tấm thẻ còn lại (trừ hai tấm thẻ đã chọn ở trên), gọi là tập B. Ta có thể chia tập B thành hai tập con B1 và B2 sao cho tổng các số trong tập B1 chia cho 101 bằng x, tổng các số trong tập B2 chia cho 101 bằng y.

Khi đó, tổng các số trên 102 tấm thẻ này chia hết cho 101, vì:

• Tổng các số trên hai tấm thẻ đã chọn là x + y.
• Tổng các số trong tập B1 chia hết cho 101 theo cách chọn B1.
• Tổng các số trong tập B2 chia hết cho 101 theo cách chọn B2.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng tổng các số trên một nhóm các tấm thẻ bất kỳ không chia hết cho 101. Vậy giả sử ban đầu là sai, và ta có kết luận rằng tất cả các số được viết trên các tấm thẻ đều bằng nhau.