a) Ta có $\Delta ABC$ vuông tại B nên $BM=MA$. Tương tự, $\Delta BCD$ vuông tại C nên $CN=NB$. Do đó, ta có $CM=CB+BM=CB+MA=DN=DC+CN=DC+NB=DN$.

Để chứng minh $CM$ vuông góc với $DN$, ta sẽ chứng minh $CM$ vuông góc với $BC$. Ta có $CM^2=CB^2+BM^2=CB^2+MA^2=CA^2=CD^2+DA^2=DN^2+NA^2=DN^2+BC^2$. Do đó, $CM^2+DN^2=BC^2+MA^2+NA^2+CD^2$.

Áp dụng định lý Pythagore, ta có $MA^2+NA^2=AB^2$ và $CD^2+BC^2=BD^2$. Do đó, $CM^2+DN^2=AB^2+BD^2$.

Từ đó, ta suy ra $CM$ vuông góc với $DN$ (vì $ABCD$ là hình vuông).

b) Ta có $DN\perp AH$ và $AH\perp CD$ nên $DN\parallel CD$. Do đó, $\Delta ADP$ và $\Delta BCP$ đồng dạng. Từ đó, ta có $\frac{AP}{PD}=\frac{BC}{AB}=1$ (vì $ABCD$ là hình vuông). Do đó, $AP=PD$ và $P$ là trung điểm của $CD$.

c) Ta có $\Delta AIN$ và $\Delta ABI$ đồng dạng vì chúng có cạnh chung $AB$ và $\angle AIN=\angle ABI$ (vì $CM\perp AB$ và $DN\perp AB$). Do đó, $\frac{AI}{AB}=\frac{IN}{BI}$.

Từ a), ta có $CM=DN$ nên $IN=IM$. Do đó, $\frac{AI}{AB}=\frac{IM}{BI}=1-\frac{MB}{BI}=1-\frac{1}{2}= \frac{1}{2}$.

Vậy, $AI=\frac{1}{2}AB$. Tuy nhiên, ta cũng có $AM=MB$ nên $AB=2AM$. Do đó, $AI=AM$ và $\Delta AIM$ là tam giác cân tại $A$. Từ đó, suy ra $AI=AB$.