Nối BI cắt đường tròn tại E (E khác B)

a) Ta có $\angle AOC = 2\angle ADC$ (do $A$ thuộc cung lớn $CD$), và $\angle AOC = 2\angle AEC$ (do $AE$ là tiếp tuyến tại $A$). Do đó, $\angle ADC = \angle AEC$. Từ đó suy ra $AE \parallel CD$.

b) Gọi $N$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Ta có $\angle AMB = \angle ANB$ (do $AMBN$ là tứ giác nội tiếp). Nhưng $\angle ANB = 90^\circ$ (do $AN \perp CD$), do đó $\angle AMB = 90^\circ$. Tức là $MA$ vuông góc $MB$ khi và chỉ khi $M$ nằm trên đường tròn đường kính $AB$.

c) Gọi $F$ là giao điểm của $HB$ và $CD$. Ta cần chứng minh $\angle CHF = \angle DHF$. Ta có $\angle AHB = \angle AEB$ (do $AE \parallel CD$ và $AMBN$ là tứ giác nội tiếp), và $\angle AEB = \angle ACB$ (do $AE$ là tiếp tuyến tại $A$). Do đó, $\angle AHB = \angle ACB$. Từ đó suy ra $\angle CHF = \angle DHF$ (do $CI$ là đường trung trực của $AB$). Vậy $HB$ là phân giác của $\angle CHD$.