Để chứng minh căn 8 là số vô tỉ, ta giả sử rằng căn 8 là số hữu tỉ.

Giả sử căn 8 là một số hữu tỉ, tức là có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản a/b, trong đó a và b là hai số nguyên không có ước chung lớn hơn 1.

Ta có: √8 = a/b

Bình phương cả hai vế của phương trình trên, ta được: 8 = (a/b)^2

Từ đó suy ra: 8b^2 = a^2

Vì a^2 chia hết cho 2, nên a cũng chia hết cho 2. Khi đó, a có thể viết dưới dạng a = 2k, với k là một số nguyên.

Thay a = 2k vào phương trình trên, ta có: 8b^2 = (2k)^2

Simplifying, we get: 8b^2 = 4k^2

Chia cả hai vế của phương trình cho 4, ta được: 2b^2 = k^2

Từ đó suy ra k^2 chia hết cho 2, nên k cũng chia hết cho 2. Khi đó, k có thể viết dưới dạng k = 2m, với m là một số nguyên.

Thay k = 2m vào phương trình trên, ta có: 2b^2 = (2m)^2

Simplifying, we get: 2b^2 = 4m^2

Chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta được: b^2 = 2m^2

Từ đó suy ra b^2 chia hết cho 2, nên b cũng chia hết cho 2.

Như vậy, a và b đều chia hết cho 2, điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu là a và b không có ước chung lớn hơn 1.

Vì vậy, giả sử đầu tiên là sai, căn 8 không thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản a/b, với a và b là hai số nguyên không có ước chung lớn hơn 1.

Do đó, căn 8 là số vô tỉ.