Để chứng minh rằng 1/4 + 1/9 + 1/16 +...+ 1/529 < 22/23, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng 1/4 + 1/9 + 1/16 +...+ 1/n^2 < 1 - 1/n, với mọi số nguyên dương n.

Bước cơ sở:
Khi n = 2, ta có 1/4 < 1 - 1/2 = 1/2.
Điều này đúng vì 1/4 < 1/2.

Bước quy nạp:
Giả sử rằng 1/4 + 1/9 + 1/16 +...+ 1/k^2 < 1 - 1/k, với mọi số nguyên dương k.

Ta cần chứng minh rằng 1/4 + 1/9 + 1/16 +...+ 1/k^2 + 1/(k+1)^2 < 1 - 1/(k+1).

Ta có:
1/4 + 1/9 + 1/16 +...+ 1/k^2 + 1/(k+1)^2 < 1 - 1/k + 1/(k+1)^2.

Đặt A = 1 - 1/k + 1/(k+1)^2.

Ta cần chứng minh rằng A < 1 - 1/(k+1).

Ta có:
A - (1 - 1/(k+1)) = 1 - 1/k + 1/(k+1)^2 - 1 + 1/(k+1)
= -1/k + 1/(k+1)^2 + 1/(k+1) - 1
= (-1 + (k+1) + (k+1)^2 - k(k+1))/(k(k+1)^2)
= (k^2 + 2k + 1 - k - 1 + k^2 + k)/(k(k+1)^2)
= (2k^2 + 2k)/(k(k+1)^2)
= 2k(k+1)/(k(k+1)^2)
= 2/(k+1).

Vì k là số nguyên dương, nên k+1 > 1. Do đó, 2/(k+1) < 1.

Vậy, A < 1 - 1/(k+1).

Từ đó, ta có 1/4 + 1/9 + 1/16 +...+ 1/n^2 < 1 - 1/n.

Áp dụng vào bài toán ban đầu, ta có:
1/4 + 1/9 + 1/16 +...+ 1/529 < 1 - 1/23 = 22/23.

Vậy, chứng minh được rằng 1/4 + 1/9 + 1/16 +...+ 1/529 < 22/23.