Ta có tam giác ABC vuông cân tại A, do đó AB = AC.
Vì BM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên BM = \(\frac{1}{2}\)AC.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên \(\angle BAC = 45^\circ\).
Vì BM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên \(\angle ABM = \angle MBC\).
Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên \(\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ\).
Vậy \(\angle ABM = \angle MBC = 45^\circ\).
Vì CD vuông góc với BM tại D, nên \(\angle CDB = 90^\circ\).
Vì \(\angle ABM = \angle MBC = 45^\circ\), nên \(\angle CBD = \angle CDB - \angle MBC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).
Vậy tam giác CBD là tam giác vuông cân tại C.
Vì DH vuông góc với AC tại H, nên \(\angle AHD = 90^\circ\).
Vì tam giác CBD là tam giác vuông cân tại C, nên \(\angle CBD = \angle BCD\).
Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên \(\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ\).
Vậy \(\angle BCD = \angle BCA - \angle CBD = 45^\circ - 45^\circ = 0^\circ\).
Vậy tam giác BCD là tam giác cân.
Vì tam giác BCD là tam giác cân, nên BD = CD.
Vì BM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên BM = \(\frac{1}{2}\)AC.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên AB = AC.
Vậy AB = AC = 2BM.
Vậy tam giác ABM là tam giác vuông cân tại A.
Vì tam giác ABM là tam giác vuông cân tại A, nên \(\angle BAH = \angle BMA = 45^\circ\).
Vì tam giác BCD là tam giác cân, nên BD = CD.
Vậy BD = CD = \(\frac{1}{2}\)AC.
Vì DH vuông góc với AC tại H, nên \(\angle AHD = 90^\circ\).
Vậy tam giác AHD là tam giác vuông tại H.
Vì tam giác AHD là tam giác vuông tại H, nên AH = HD.
Vậy AH = HD = 3HD.