a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, với đường cao AH. Theo định nghĩa, đường cao AH là đường thẳng đi qua đỉnh A và vuông góc với cạnh BC.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 9^2 + 12^2
BC^2 = 81 + 144
BC^2 = 225
BC = √225
BC = 15 cm

Vì AH là đường cao nên AH vuông góc với BC. Do đó, ta có tam giác vuông AHG (G là giao điểm của AH và BC).

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHG, ta có:
AH^2 = AG^2 + HG^2
AH^2 = AB^2 - BH^2
AH^2 = 9^2 - BH^2
AH^2 = 81 - BH^2

Vì AH là đường cao, nên AH cũng là phần còn lại của cạnh AC khi đã trừ đi đoạn BH. Do đó, ta có:
AH = AC - BH
AH = 12 - BH

Thay giá trị của AH vào phương trình trên, ta có:
(12 - BH)^2 = 81 - BH^2
144 - 24BH + BH^2 = 81 - BH^2
2BH^2 - 24BH + 63 = 0

Giải phương trình trên, ta có:
BH = 3 cm hoặc BH = 7 cm

Vì BH không thể lớn hơn cạnh BC, nên ta chọn BH = 3 cm.

Từ đó, ta có:
AH = AC - BH = 12 - 3 = 9 cm
CH = AC - AH = 12 - 9 = 3 cm

b) Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AB, cắt AH tại D. Ta có tam giác vuông ABD và tam giác vuông BCD.

Diện tích tứ giác AHDC là tổng diện tích hai tam giác ABD và BCD.

Diện tích tam giác ABD:
S(ABD) = (1/2) * AB * AD
S(ABD) = (1/2) * 9 * 9
S(ABD) = 40.5 cm^2

Diện tích tam giác BCD:
S(BCD) = (1/2) * BC * CD
S(BCD) = (1/2) * 15 * 9
S(BCD) = 67.5 cm^2

Vậy diện tích tứ giác AHDC là:
S(AHDC) = S(ABD) + S(BCD)
S(AHDC) = 40.5 + 67.5
S(AHDC) = 108 cm^2