Cho 2 tam giác vuông ABC và ADC có chung cạnh huyền AC, lấy M trên AB sao cho AM = AD, đường thẳng DM cắt BC tại N. Gọi H là hình chiếu của D trên AC và K là hình chiếu của C trên AN

Ta có tam giác vuông ABC và ADC có chung cạnh huyền AC, nên ta có:
- Tam giác ABC và tam giác ADC đồng dạng (theo góc).
- Tam giác ABC và tam giác ADC có cạnh chung AC.
Do đó, ta có:
$\angle ABC = \angle ADC$ và $\angle BAC = \angle DAC$
Vì AM = AD, nên tam giác AMD cân tại M.
Do đó, ta có:
$\angle MAD = \angle MDA$
Vì tam giác ABC và tam giác ADC đồng dạng, nên ta có:
$\angle ABC = \angle ADC = \angle MAD = \angle MDA$
Vậy tam giác MDA cân tại M.
Do đó, ta có:
$\angle MHD = \angle MDA = \angle MAD$
Vì tam giác MDA và tam giác MHN đồng dạng (theo góc), nên ta có:
$\angle MHN = \angle MDA = \angle MAD = \angle MHD$
Vậy tam giác MHN và tam giác MHD đồng dạng (theo góc).
Tương tự, ta có tam giác MCK và tam giác MCA đồng dạng (theo góc).
Do đó, ta có:
$\angle MCK = \angle MCA$
Vì tam giác ABC và tam giác ADC đồng dạng, nên ta có:
$\angle ABC = \angle ADC = \angle MCA = \angle MCK$
Vậy tam giác MCK và tam giác ABC đồng dạng (theo góc).
Vậy ta có:
$\angle MHN = \angle MHD$ và $\angle MCK = \angle ABC$
Vậy ta có:
$\angle MHN = \angle MHD = \angle MCK = \angle ABC$
Vậy tam giác MHN và tam giác MCK đồng dạng (theo góc).
Vậy ta có:
MHN = MCK (đpcm)