Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x, y)\) thỏa mãn: \((x-1)(m-y) < 0\)

Để tìm giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x, y)\) thoả mãn \((x-1)(m-y) < 0\), ta cần phân tích hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + my = 3m \\
mx - y = m^2 - 2
\end{cases}
\]

### Bước 1: Giải hệ phương trình cho \( y \)

Từ phương trình đầu tiên, ta tách \( y \):

\[
my = 3m - x \implies y = \frac{3m - x}{m}
\]

### Bước 2: Thay vào phương trình thứ hai

Thay giá trị của \( y \) vào phương trình thứ hai:

\[
mx - \frac{3m - x}{m} = m^2 - 2
\]

Nhân cả hai vế với \( m \) (với \( m \neq 0 \)):

\[
m^2x - (3m - x) = m^3 - 2m
\]

Sắp xếp lại:

\[
m^2x + x = m^3 - 2m + 3m
\]
\[
(m^2 + 1)x = m^3 + m
\]

### Bước 3: Giải \( x \)

Ta có:

\[
x = \frac{m^3 + m}{m^2 + 1}
\]

### Bước 4: Tính \( y \)

Thay \( x \) vào công thức \( y \):

\[
y = \frac{3m - \frac{m^3 + m}{m^2 + 1}}{m}
\]
\[
y = \frac{3m(m^2 + 1) - (m^3 + m)}{m(m^2 + 1)}
\]
\[
= \frac{3m^3 + 3m - m^3 - m}{m(m^2 + 1)} = \frac{2m^3 + 2m}{m(m^2 + 1)} = \frac{2m(m^2 + 1)}{m(m^2 + 1)} = 2
\]

Vậy:

\[
y = 2
\]

### Bước 5: Đặc điểm nghiệm duy nhất

Từ đó, nghiệm duy nhất sẽ tồn tại khi \( x \) và \( y \) không phụ thuộc vào \( m \). Để hàm này có nghiệm duy nhất, cần xét điều kiện:

\[
(x-1)(m-y) < 0 \implies (x - 1)(m - 2) < 0
\]

### Bước 6: Phân tích điều kiện

- Nếu \( x - 1 > 0 \) (tức là \( x > 1 \)) thì phải có \( m - 2 < 0 \) (tức là \( m < 2 \)).
- Nếu \( x - 1 < 0 \) (tức là \( x < 1 \)) thì phải có \( m - 2 > 0 \) (tức là \( m > 2 \)).

### Bước 7: Tìm giá trị \( m \)

Để có nghiệm duy nhất mà thỏa mãn các điều kiện trên, ta cần \( x = 1 \) (trường hợp biên) một cách duy nhất:

\[
\frac{m^3 + m}{m^2 + 1} = 1 \implies m^3 + m = m^2 + 1 \implies m^3 - m^2 + m - 1 = 0
\]

### Bước 8: Giải phương trình bậc ba

Dễ dàng kiểm tra thấy \( m = 1 \) là nghiệm của phương trình

\[
1^3 - 1^2 + 1 - 1 = 0
\]

Tiến hành chia đa thức:

\[
(m-1)(m^2 + 1) = 0
\]

Phương trình còn lại \( m^2 + 1 = 0 \) không có nghiệm thực.

### Kết luận:

Giá trị \( m \) duy nhất để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

\[
\boxed{1}
\]