Để xác định xem một số có chia hết cho 2 không, ta chỉ cần xem chữ số cuối cùng của số đó. Nếu chữ số cuối cùng là 0, 2, 4, 6, hoặc 8 thì số đó chia hết cho 2. Ngược lại, nếu chữ số cuối cùng là 1, 3, 5, 7, hoặc 9 thì số đó không chia hết cho 2.

a) Để xác định xem A có chia hết cho 2 không, ta xem chữ số cuối cùng của A. Ta có:

A = 2001^2002 + 1999^2000

Chữ số cuối cùng của 2001 là 1 và chữ số cuối cùng của 1999 là 9. Ta biết rằng 1^k và 9^k luôn chia hết cho 1, với k là một số nguyên dương bất kỳ. Do đó, chữ số cuối cùng của A chỉ phụ thuộc vào chữ số cuối cùng của 2001^2002 và 1999^2000.

Để xác định chữ số cuối cùng của 2001^2002 và 1999^2000, ta xem mẫu số của lũy thừa đó. Ta có:

2001^2002 ≡ 1^2002 ≡ 1 (mod 10)

1999^2000 ≡ (-1)^2000 ≡ 1 (mod 10)

Vì chữ số cuối cùng của 2001^2002 và 1999^2000 đều là 1, nên chữ số cuối cùng của A cũng là 1. Do đó, A không chia hết cho 2.

b) Để xác định xem B có chia hết cho 2 không, ta xem chữ số cuối cùng của B. Ta có:

B = 1 + 3^3 + 3^5 + 3^7

Chữ số cuối cùng của 1 là 1 và chữ số cuối cùng của 3^k với k là một số nguyên dương bất kỳ cũng là 1. Vì B là tổng của các số này, nên chữ số cuối cùng của B cũng là 1. Do đó, B không chia hết cho 2.