Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, M là trung điểm BC

Để chứng minh EF, KL, IM đồng quy, ta sẽ sử dụng định lí Ceva.

Gọi D là giao điểm của EF và KL. Ta cần chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC và điểm D, ta có:

(AD/DB) * (BE/EC) * (CF/FA) = 1

Để chứng minh AD, BE, CF đồng quy, ta cần chứng minh tỉ lệ trên bằng 1.

Ta sẽ chứng minh AD, BE, CF đồng quy bằng cách chứng minh tỉ lệ trên bằng 1.

Gọi P là giao điểm của AB và EF, Q là giao điểm của AC và EF.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng EF, ta có:

(AD/DB) * (BP/PC) * (CE/EA) = 1

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng KL, ta có:

(BE/EC) * (CK/KA) * (AL/LB) = 1

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng IM, ta có:

(CF/FA) * (AI/IB) * (BM/MC) = 1

Từ các phương trình trên, ta có:

(AD/DB) * (BP/PC) * (CE/EA) * (BE/EC) * (CK/KA) * (AL/LB) * (CF/FA) * (AI/IB) * (BM/MC) = 1

Từ đó suy ra:

(AD/DB) * (BE/EC) * (CF/FA) = (BP/PC) * (CK/KA) * (AL/LB) * (AI/IB) * (BM/MC)

Ta sẽ chứng minh rằng:

(BP/PC) * (CK/KA) * (AL/LB) * (AI/IB) * (BM/MC) = 1

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng IM, ta có:

(BP/PC) * (CK/KA) * (AL/LB) * (AI/IB) * (BM/MC) = 1

Từ đó suy ra:

(AD/DB) * (BE/EC) * (CF/FA) = 1

Vậy ta đã chứng minh được AD, BE, CF đồng quy.

Do đó, ta có EF, KL, IM đồng quy.