Tìm các số tự nhiên n để n^2017 +n^2+1 là số nguyên tố

Để tìm các số tự nhiên n để n^2017 + n^2 + 1 là số nguyên tố, ta sẽ kiểm tra các giá trị của n từ 1 đến một giá trị lớn nào đó.

Ta có thể thấy rằng nếu n là số chẵn, thì n^2017 + n^2 + 1 sẽ là số lẻ, và do đó không thể là số nguyên tố (trừ khi n = 2, nhưng ta sẽ kiểm tra sau).

Với n là số lẻ, ta có thể viết lại n^2017 + n^2 + 1 thành (n^2017 + 1) + n^2. Ta biết rằng n^2017 + 1 chia hết cho n + 1 (do định lý Fermat nhỏ). Vì vậy, để n^2017 + n^2 + 1 là số nguyên tố, ta cần n + 1 là một trong các ước của n^2017 + n^2 + 1.

Để kiểm tra xem n + 1 có phải là ước của n^2017 + n^2 + 1 hay không, ta có thể sử dụng định lý Euclid. Định lý Euclid nói rằng nếu a chia hết cho b, thì a^k cũng chia hết cho b với mọi số tự nhiên k.

Áp dụng định lý Euclid vào trường hợp này, ta có n^2017 + n^2 + 1 chia hết cho (n + 1)^2017 + (n + 1)^2 + 1. Điều này có nghĩa là n + 1 là ước của n^2017 + n^2 + 1 nếu và chỉ nếu (n + 1)^2017 + (n + 1)^2 + 1 chia hết cho n + 1.

Vì vậy, ta chỉ cần kiểm tra xem (n + 1)^2017 + (n + 1)^2 + 1 chia hết cho n + 1 hay không. Nếu chia hết, tức là n + 1 là ước của n^2017 + n^2 + 1 và n^2017 + n^2 + 1 không phải là số nguyên tố.

Nếu không chia hết, tức là n + 1 không phải là ước của n^2017 + n^2 + 1 và n^2017 + n^2 + 1 có thể là số nguyên tố.

Vậy, ta chỉ cần kiểm tra các giá trị của n từ 1 đến một giá trị lớn nào đó, và nếu (n + 1)^2017 + (n + 1)^2 + 1 không chia hết cho n + 1, thì n^2017 + n^2 + 1 có thể là số nguyên tố.

Lưu ý rằng ta cần kiểm tra thêm trường hợp n = 2, vì nếu n = 2, thì n^2017 + n^2 + 1 = 2^2017 + 2^2 + 1 là số nguyên tố.