a) Ta có tam giác vuông ABC, với đường cao AH. Theo định lý Pythagoras, ta có:
AB^2 = AH^2 + BH^2
AC^2 = AH^2 + CH^2

Thay CH = 9 và BH = 16 vào công thức trên, ta có:
AB^2 = AH^2 + 16^2
AC^2 = AH^2 + 9^2

b) Ta có:
AD.AC = (AH + HD)(AH + HC)
= AH^2 + AH.HD + AH.HC + HD.HC
= AH^2 + HD.HC + BH.CH

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên HD = BH - AH = 16 - AH và HC = CH - AH = 9 - AH. Thay vào công thức trên, ta có:
AD.AC = AH^2 + (16 - AH)(9 - AH) + BH.CH
= AH^2 + (16 - AH)(9 - AH) + 16*9
= AH^2 + 144 - 25AH + AH^2 + 16*9
= 2AH^2 - 25AH + 144 + 144
= 2AH^2 - 25AH + 288

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagoras, ta có:
AB^2 = AH^2 + BH^2
= AH^2 + 16^2
= AH^2 + 256

Và
AF^2 = AE^2 + EF^2
= (AH + HE)^2 + EF^2
= (AH + AH)^2 + EF^2
= 4AH^2 + EF^2

c) Ta có:
1/AH^2 = 1/AB^2 - 1/AC^2
= 1/(AH^2 + 256) - 1/(AH^2 + 81)
= (AH^2 + 81 - AH^2 - 256)/((AH^2 + 256)(AH^2 + 81))
= (81 - 256)/((AH^2 + 256)(AH^2 + 81))
= -175/((AH^2 + 256)(AH^2 + 81))

Và
1/AF^2 + 1/AB^2 = 1/(4AH^2 + EF^2) + 1/(AH^2 + 256)
= (AH^2 + 256 + 4AH^2 + EF^2)/(4AH^2 + EF^2)(AH^2 + 256)
= (5AH^2 + EF^2 + 256)/(4AH^2 + EF^2)(AH^2 + 256)

Để chứng minh 1/AH^2 = 1/AF^2 + 1/AB^2, ta cần chứng minh:
-175/((AH^2 + 256)(AH^2 + 81)) = (5AH^2 + EF^2 + 256)/(4AH^2 + EF^2)(AH^2 + 256)

Tuy nhiên, trong đề bài không cho biết giá trị của EF, nên không thể chứng minh được công thức trên.