Để tính thể tích của khối lập phương, ta cần biết độ dài cạnh của nó. Ta sẽ tính độ dài cạnh của khối lập phương bằng cách sử dụng định lý Pythagoras.

Gọi cạnh của khối lập phương là x. Ta có:

AM = AD' + DM
C'N = C'D' + D'N

Vì M là trung điểm của A'D', ta có AD' = 2AM. Tương tự, vì N là trung điểm của A'B', ta có C'D' = 2C'N.

Vậy ta có:

AM = AD' + DM = 2AM + DM
=> DM = AM

C'N = C'D' + D'N = 2C'N + D'N
=> D'N = C'N

Vậy ta có hai tam giác vuông cân AMB và C'ND'. Áp dụng định lý Pythagoras cho hai tam giác này, ta có:

AB^2 = AM^2 + MB^2
C'D'^2 = C'N^2 + D'N^2

Vì AB = C'D' = x (vì là cạnh của khối lập phương), ta có:

x^2 = AM^2 + MB^2
x^2 = C'N^2 + D'N^2

Vì AM = DM và C'N = D'N, ta có:

x^2 = AM^2 + (x/2)^2
x^2 = C'N^2 + (x/2)^2

Giải hệ phương trình trên, ta có:

AM^2 = (3/4)x^2
C'N^2 = (1/4)x^2

Vậy khoảng cách giữa hai đường chéo AM và C'N là:

a = √(AM^2 + C'N^2) = √((3/4)x^2 + (1/4)x^2) = √(4/4x^2) = √(x^2) = x

Vậy khoảng cách giữa hai đường chéo AM và C'N bằng x.

Để tính thể tích của khối lập phương, ta có công thức:

V = x^3

Vậy thể tích của khối lập phương là x^3.