a, Ta có AH ⊥ BC và M là trung điểm của AB nên HM ⊥ AB. Vì vậy, AH và HM là hai đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ HM.
Mà D là điểm đối xứng của H qua M nên MD ⊥ HM. Do đó, MD ⊥ AH.
Vậy ta có AH ⊥ HM ⊥ MD nên tứ giác AHBD là hình chữ nhật.

b, Ta có HB = HE (theo đề bài). Vì tứ giác AHBD là hình chữ nhật nên AH = BD.
Mà tứ giác AEHD là hình bình hành nên AH = DE.
Vậy ta có DE = BD.
Mà HB = HE nên tứ giác BDEH là hình thang cân.
Do đó, BE = 2BD (vì trong hình thang cân, đường cao chia đôi đáy lớn).
Vậy ta có BE = 2BD.

c, Gọi N là điểm đối xứng của A qua H. Ta cần chứng minh tứ giác AENB là hình thoi.
Ta có AH ⊥ BC và AN là đường phân giác của góc BAC nên AN ⊥ BC.
Mà N là điểm đối xứng của A qua H nên AN = AH.
Vậy ta có AN ⊥ BC và AN = AH.
Do đó, tứ giác AENB là hình thoi.

d, Ta có M là trung điểm của AB nên MN là đường phân giác của góc BAC.
Vì MN ⊥ AB và HB ⊥ AB nên MN // HB.
Mà MN cắt HB tại K nên ta có MN // HB và MN cắt HB tại K nên ta có MNK là tam giác đồng dạng với HCB.
Vậy ta có HK/HC = MN/BC.
Mà MN = MC (vì M là trung điểm của AB) nên ta có HK/HC = MC/BC.
Vậy ta có HK/HC = 1/2.
Mà HB = HE nên ta có HK/HE = 1/2.
Vậy ta có HK = 1/2 HE.
Mà trong tứ giác BDEH, ta đã chứng minh được BE = 2BD nên ta có HE = 3BD.
Vậy ta có HK = 1/2 HE = 1/2 * 3BD = 3/2 BD.
Do đó, ta có BE = 3BK.