a) Ta có AB = BM, suy ra tam giác ABM là tam giác cân tại A.
Gọi N là trung điểm của BC, ta có AN là đường trung bình của tam giác ABC.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, AH là đường phân giác của góc HAN.
Mà góc HAN là góc HAC nên AM là tia phân giác của góc HAC.

b) Gọi K' là giao điểm của AM và HK. Ta cần chứng minh K' = K.
Vì tam giác ABM là tam giác cân tại A nên góc BMA = góc BAM = góc BAC.
Mà góc BAC = góc CAH (vì AH là đường cao của tam giác ABC).
Do đó, góc BMA = góc CAH.
Nhưng góc CAH = góc K'AH (vì AM là tia phân giác của góc HAC).
Vậy góc BMA = góc K'AH.
Tương tự, ta có góc BMA = góc KAH.
Vậy góc K'AH = góc KAH.
Do đó, K' = K.
Vậy AM là đường trung trực của HK.

c) Gọi I' là giao điểm của CI và KM. Ta cần chứng minh I' = I.
Vì tam giác ABM là tam giác cân tại A nên góc BMA = góc BAM = góc BAC.
Mà góc BAC = góc CAH (vì AH là đường cao của tam giác ABC).
Do đó, góc BMA = góc CAH.
Nhưng góc CAH = góc I'AC (vì AI' là đường phân giác của góc HAC).
Vậy góc BMA = góc I'AC.
Tương tự, ta có góc BMA = góc IAC.
Vậy góc I'AC = góc IAC.
Do đó, I' = I.
Vậy AH, KM và CI đồng quy.