a) Ta có AB là đường trung trực của MD và AC là đường trung trực của ME.
Vì vậy, ta có:
∠ABD = ∠ADM (cùng nằm trên cùng một đường thẳng)
∠AED = ∠AEM (cùng nằm trên cùng một đường thẳng)
Vì AB = AC (đường trung trực), nên ta có:
∠BDA = ∠EDA (cùng nằm trên cùng một đường thẳng)
Do đó, tam giác ADE có 2 góc bằng nhau,
nên tam giác ADE là tam giác cân.
b) Ta có AB là đường trung trực của MD và AC là đường trung trực của ME.
Vì vậy, ta có:
BD = CD (đường trung trực)
CE = AE (đường trung trực)
Vậy BC = BD + CE.
C,Giả sử góc BAC = 90 ^ 0. Ta có: ∠BDA = ∠EDA (cùng nằm trên cùng một đường thẳng) ∠BDA + ∠EDA = 180 ^ 0 (tổng các góc trong tam giác) Vì ∠BDA = ∠EDA, nên 2 góc này bằng nhau và cùng bằng 90 ^ 0 / 2 = 45 ^ 0. Do đó, D, A, E thẳng hàng. Để tìm vị trí của điểm M để độ dài DE ngắn nhất, ta cần chứng minh rằng M nằm trên đoạn thẳng BC. Giả sử M không nằm trên đoạn thẳng BC. Khi đó, ta có 2 trường hợp: - Trường hợp 1: M nằm giữa B và C. Ta có BM < BC và CM < BC. - Trường hợp 2: M nằm ngoài đoạn thẳng BC. Ta có BM > BC và CM > BC. Trong cả 2 trường hợp trên, ta đều có DE > BC (do DE là đường trung trực của ME và AB là đường trung trực của MD). Vì vậy, để độ dài DE ngắn nhất, điểm M phải nằm trên đoạn thẳng BC.

a) Ta có AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD, nên AB vuông góc với MD. Tương tự, AC là đường trung trực của đoạn thẳng ME, nên AC vuông góc với ME.

Vì AB vuông góc với MD và AC vuông góc với ME, nên góc BAD bằng góc EAC (vì chúng là góc giữa đường thẳng và đường vuông góc với nó).

Do đó, tam giác ADE có hai góc BAD và EAC bằng nhau, nên tam giác ADE cân (có hai góc bằng nhau).

b) Ta có AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD, nên AM là đoạn trung bình của tam giác MBD. Tương tự, AC là đường trung trực của đoạn thẳng ME, nên AM là đoạn trung bình của tam giác MCE.

Theo định lí đoạn trung bình trong tam giác, ta có: BD = CD và BE = CE.

Do đó, BC = BD + CE.

c) Giả sử góc BAC = 90^0. Ta cần chứng minh D, A, E thẳng hàng.

Vì AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD, nên AB vuông góc với MD. Vì góc BAC = 90^0, nên AB vuông góc với AC.

Do đó, AB // AC.

Vì AB // AC và AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD, nên AB cắt MD ở điểm D sao cho AD = DM.

Tương tự, vì AB // AC và AC là đường trung trực của đoạn thẳng ME, nên AC cắt ME ở điểm E sao cho AE = EM.

Vậy, ta có D, A, E thẳng hàng.

Để tìm vị trí của điểm M để độ dài DE ngắn nhất, ta cần tìm vị trí của M sao cho AM là đoạn trung bình của tam giác MDE.