a) Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó đường cao AH là đường trung trực của BC.

b) Gọi N là trung điểm của cạnh BC. Ta có MN song song với AB và MN song song với AC (do N là trung điểm của BC). Vì vậy, ta có MN vuông góc với AB và MN vuông góc với AC.

Gọi E' là giao điểm của MN và AH. Ta cần chứng minh tam giác AEB cân.

Ta có:

- Góc E'AB = góc E'AC (vì MN vuông góc với AB và MN vuông góc với AC)
- Góc E'BA = góc E'CA (vì MN song song với AB và MN song song với AC)
- AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

Do đó, tam giác AEB cân.

c) Gọi K là giao điểm của KE và MN. Ta cần chứng minh KC vuông góc BC.

Ta có:

- M là trung điểm của KE (theo đề bài)
- MN song song với KE (vì N là trung điểm của BC)
- MN vuông góc với KE (vì MN vuông góc với AB và MN vuông góc với AC)

Vậy, KC vuông góc BC.

d) Ta có AD = CF (theo đề bài).

Gọi D' là giao điểm của DE và BC, F' là giao điểm của DF và BC.

Ta cần chứng minh 2DE > DF.

Ta có:

- AD = CF (theo đề bài)
- D' là trung điểm của DE (vì M là trung điểm của KE)
- F' là trung điểm của DF (vì M là trung điểm của KE)

Do đó, D'F' = 1/2 DF.

Vậy, 2DE = D'F' > DF.