a, Có: CA⊥BD; A là trung điểm của BD

⇒CA là đường trung trực của BD

⇒CB=CD (t/c)

⇒ΔBCD cân tại C

⇒CA là đường cao, đường trung trực, đồng thời là đường phân giác của ΔBCD

Vậy CA là tia phân giác của ^BCD (đpcm)

b, Xét ΔCIE và ΔCIF có:

          ^IEC=^IFC=90o

          CI:chung

          ^ECI=^FCI(CI là phân giác ^ECF)

⇒ΔCIE=ΔCIF(CH-GN)

⇒CE=CF (2 cạnh tương ứng)

→ΔCEF cân tại C

⇒CI là đường phân giác đồng thơi là đường cao của ΔCEF

⇒CI⊥EF hay CA ⊥ EF

Lại có: CA ⊥DB(g t)

⇒ EF//DB

c, Δ BIF vuông tại F ⇒ IF < IB

mà: IF = IE (do Δ CIE=ΔCIF)

=> IE < IB

d, Giả sử: ΔBEF cân tại F

EF//DB => \hat{ABE} = \hat{FEB} (2 góc so le trong)

mà: \hat{FBE} = \hat{FEB} (do ΔBEF cân tại F)

⇒ \hat{ABE} = \hat{FBE}

⇒ BE là tia phân giác của \hat{DBC}

Lại có: BE là đường cao của ΔBCD

=> ΔBCD cân tại B

=> BC = BD

mà: BC = CD(cmt) → BC = BD = CD

⇒ ΔBCD đều

⇒ \hat{ABC}=60^o

Vậy để ΔBEF cân tại F thì \hat{ABC}=60^o