a) Ta có tam giác ABC cân tại B, nên BM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, BM song song với AC và có độ dài bằng một nửa độ dài AC.

Gọi P là giao điểm của MN và AC. Ta có MP là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên MP song song với BC và có độ dài bằng một nửa độ dài BC.

Vậy tứ giác AMNC có hai cạnh đối song song và có độ dài bằng nhau, nên là hình thang cân.

b) Ta có BM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên BM song song với AC và có độ dài bằng một nửa độ dài AC.

Gọi I là giao điểm của AN và CM. Ta cần chứng minh IA = IC và IM = IN.

Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB. Vì N là trung điểm của BC, nên CN = NB.

Ta có:

IA = AM + MI = MB + MI = IB (vì M là trung điểm của AB)

IC = CN + NI = NB + NI = IB (vì N là trung điểm của BC)

Vậy ta có IA = IC và IM = IN.

c) Ta cần chứng minh BI là đường trung trực của MN và AC.

Vì M là trung điểm của AB, nên BM song song với AC (vì BM là đường trung tuyến của tam giác ABC).

Vì N là trung điểm của BC, nên BN song song với AC (vì BN là đường trung tuyến của tam giác ABC).

Do đó, MN song song với AC.

Gọi K là giao điểm của BI và MN. Ta cần chứng minh K là trung điểm của MN.

Vì BM song song với AC, nên ta có tứ giác BIMK là tứ giác song song.

Vì BN song song với AC, nên ta có tứ giác BINK là tứ giác song song.

Do đó, ta có BM = MI và BN = NI.

Vậy ta có K là trung điểm của MN.

Vậy BI là đường trung trực của MN và AC.