83. Để chứng tỏ vấn đề này, ta sử dụng phép chia dư.

Trong ba số tự nhiên liên tiếp:
Gọi 3 số đó là n, n+1, n+2.
Khi chia cho 3, một số tự nhiên chỉ có ba trường hợp về dư: dư 0, dư 1, dư 2.

- Nếu n chia 3 dư 0 thì n chia hết cho 3.
- Nếu n chia 3 dư 1 thì n+1 chia 3 dư 2 và n+2 chia 3 dư 0 (chia hết cho 3).
- Nếu n chia 3 dư 2 thì n+1 chia 3 dư 0 (chia hết cho 3).

Như vậy, trong 3 số n, n+1, n+2 luôn có ít nhất một số chia hết cho 3.

Trong bốn số tự nhiên liên tiếp:
Gọi 4 số đó là m, m+1, m+2, m+3.
Khi chia cho 4, một số tự nhiên có bốn trường hợp về dư: dư 0, dư 1, dư 2, dư 3.

- Nếu m chia 4 dư 0 thì m chia hết cho 4.
- Nếu m chia 4 dư 1 thì m+1 chia 4 dư 2, m+2 chia 4 dư 3, và m+3 chia 4 dư 0 (chia hết cho 4).
- Nếu m chia 4 dư 2 thì m+2 chia 4 dư 0 (chia hết cho 4).
- Nếu m chia 4 dư 3 thì m+1 chia 4 dư 0 (chia hết cho 4).

Như vậy, trong 4 số m, m+1, m+2, m+3 luôn có ít nhất một số chia hết cho 4.

84.

Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp:
Gọi 3 số đó là n, n+1, n+2.
Tổng của chúng là: n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1).
3(n+1) chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 (trừ khi n = -1). Do đó, tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp:
Gọi 4 số đó là m, m+1, m+2, m+3.
Tổng của chúng là: m + (m+1) + (m+2) + (m+3) = 4m + 6 = 2(2m+3).
2(2m+3) chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4. Do đó, tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.