Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a^2 + b^2 = c^2 + d^2. Chứng minh a + b + c + d là hợp số

Giả sử a + b + c + d là số nguyên tố. Ta có thể viết a + b + c + d = p, với p là số nguyên tố.

Ta có a^2 + b^2 = c^2 + d^2, từ đó suy ra (a^2 + b^2) - (c^2 + d^2) = 0.

Áp dụng công thức khai triển (a^2 + b^2) - (c^2 + d^2) = (a + b + c + d)(a - b + c - d), ta có:

(a + b + c + d)(a - b + c - d) = 0.

Vì a + b + c + d = p là số nguyên tố, nên ta có hai trường hợp:

1. a - b + c - d = 0: Từ đó suy ra a + c = b + d. Khi đó, ta có a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = (a + c)^2 = (b + d)^2. Điều này chỉ xảy ra khi a = b và c = d. Nhưng vì a + b + c + d = p, nên a = b = c = d = p/4. Điều này đồng nghĩa với việc a + b + c + d không phải là số nguyên tố.

2. a + b + c + d = 0: Điều này không thể xảy ra vì a, b, c, d là các số nguyên dương.

Vậy ta kết luận rằng a + b + c + d không thể là số nguyên tố và là một số hợp số.