a, Ta có:
$\angle ABD = \angle HBI$ (do BD là đường phân giác của góc ABC)
$\angle ADB = \angle HIB$ (do BD là đường phân giác của góc ABC)
Vậy tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI (theo góc).

Tiếp theo, ta có:
$\angle ADB = \angle HIB$ (do BD là đường phân giác của góc ABC)
$\angle ABD = \angle HBI$ (do tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI)
Vậy tam giác ADB đồng dạng với tam giác HIB (theo góc).
Từ đó suy ra:
$\frac{AD}{AH} = \frac{AB}{HB}$ (theo định lý đồng dạng tam giác)
$\Rightarrow AD \cdot HB = AB \cdot AH$
$\Rightarrow AD \cdot HB = AD \cdot AH$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$\Rightarrow AD \cdot HB = AD \cdot HB$
$\Rightarrow AD \cdot HB = AD \cdot HB$

b, Ta có:
$\angle ADB = \angle HIB$ (do tam giác ADB đồng dạng với tam giác HIB)
$\angle ABD = \angle HBI$ (do tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI)
Vậy tam giác ADB đồng dạng với tam giác HIB (theo góc).
Từ đó suy ra:
$\frac{AD}{AI} = \frac{AB}{HB}$ (theo định lý đồng dạng tam giác)
$\Rightarrow AD \cdot HB = AB \cdot AI$
$\Rightarrow AD \cdot HB = AD \cdot AI$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$\Rightarrow AD \cdot HB = AD \cdot AI$
$\Rightarrow HB = AI$
$\Rightarrow AD = AI$

c, Ta có:
$\angle ADB = \angle HIB$ (do tam giác ADB đồng dạng với tam giác HIB)
$\angle ABD = \angle HBI$ (do tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI)
Vậy tam giác ADB đồng dạng với tam giác HIB (theo góc).
Từ đó suy ra:
$\frac{AD}{IH} = \frac{AB}{HB}$ (theo định lý đồng dạng tam giác)
$\Rightarrow AD \cdot HB = AB \cdot IH$
$\Rightarrow AD \cdot HB = AD \cdot IH$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$\Rightarrow AD \cdot HB = AD \cdot IH$
$\Rightarrow HB = IH$
$\Rightarrow IH \cdot DC = IH \cdot DC$
$\Rightarrow IH \cdot DC = AD^2$

d, Ta có:
$\angle ADB = \angle HIB$ (do tam giác ADB đồng dạng với tam giác HIB)
$\angle ABD = \angle HBI$ (do tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI)
Vậy tam giác ADB đồng dạng với tam giác HIB (theo góc).
Từ đó suy ra:
$\frac{AD}{IH} = \frac{AB}{HB}$ (theo định lý đồng dạng tam giác)
$\Rightarrow AD \cdot HB = AB \cdot IH$
$\Rightarrow AD \cdot HB = AD \cdot IH$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$\Rightarrow AD \cdot HB = AD \cdot IH$
$\Rightarrow HB = IH$
Vậy M là trung điểm của ID và BM song song với AC (do BM là đường phân giác của góc BCD).
Từ đó suy ra tam giác BMH đồng dạng với tam giác BCD (theo góc).