Để chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác là song song và bằng nhau.

Cặp cạnh đối nhau AD và HE:
- Ta có AH ⊥ HD và AE ⊥ HE (do AD và HE là đường cao của tam giác ABC).
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH ⊥ AB và AE ⊥ AC.
- Do đó, AH || AE (hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng thì song song với nhau).
- Tương tự, HD || HE.
- Vậy, cặp cạnh đối nhau AD và HE là song song.

Cặp cạnh đối nhau AE và HD:
- Ta có AH ⊥ HD và AE ⊥ HE (do AD và HE là đường cao của tam giác ABC).
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH ⊥ AB và AE ⊥ AC.
- Do đó, AH || AE (hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng thì song song với nhau).
- Tương tự, HD || HE.
- Vậy, cặp cạnh đối nhau AE và HD là song song.

Vậy, tứ giác ADHE là hình chữ nhật.