Để tính A, ta sẽ sử dụng công thức sau:

sin^2(x) = 1/2 - 1/2 * cos(2x)

Áp dụng công thức này vào từng phần tử của tổng A, ta có:

A = sin^2(10°) + sin^2(20°) + ... + sin^2(180°)
= (1/2 - 1/2 * cos(20°)) + (1/2 - 1/2 * cos(40°)) + ... + (1/2 - 1/2 * cos(360°))

Nhận thấy rằng cos(180° + x) = -cos(x), với mọi x thuộc tập số thực. Do đó, ta có thể viết lại tổng A như sau:

A = (1/2 - 1/2 * cos(20°)) + (1/2 - 1/2 * cos(40°)) + ... + (1/2 - 1/2 * cos(180°))
= (1/2 - 1/2 * cos(20°)) + (1/2 - 1/2 * cos(40°)) + ... + (1/2 - 1/2 * cos(180°))
+ (1/2 - 1/2 * cos(200°)) + (1/2 - 1/2 * cos(220°)) + ... + (1/2 - 1/2 * cos(360°))

Như vậy, tổng A có thể được viết lại thành:

A = 9/2 - 1/2 * (cos(20°) + cos(40°) + ... + cos(180°))

Để tính tổng cos(20°) + cos(40°) + ... + cos(180°), ta sẽ sử dụng công thức tổng của dãy số hình học. Ta có:

cos(20°) + cos(40°) + ... + cos(180°) = cos(20°) + cos(40°) + ... + cos(160°) + cos(180°)
= 2 * (cos(20°) + cos(40°) + ... + cos(160°))

Đặt S = cos(20°) + cos(40°) + ... + cos(160°), ta có:

2S = cos(20°) + cos(40°) + ... + cos(160°) + cos(180°)
= cos(20°) + cos(40°) + ... + cos(160°) - cos(0°)
= cos(20°) + cos(40°) + ... + cos(160°) - 1

Như vậy, 2S - 1 = S, hay S = 1. Do đó:

cos(20°) + cos(40°) + ... + cos(160°) = S = 1

Quay lại công thức ban đầu, ta có:

A = 9/2 - 1/2 * (cos(20°) + cos(40°) + ... + cos(180°))
= 9/2 - 1/2 * 1
= 9/2 - 1/2
= 8/2
= 4

Vậy A = 4.