a) Tứ giác ABDM là hình bình hành.

Chứng minh: Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Khi đó, AD và BM là hai đường cao của tam giác ABC, nên chúng cũng vuông góc với BC. Vì vậy, AD // BM.

Do đó, ta có ABDM là hình bình hành vì có hai cạnh đối nhau là AB và DM song song và bằng nhau.

b) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên diện tích tam giác ABC bằng 1/2 x AB x AH = 1/2 x AB x 2 = AB.

Vì vậy, diện tích tam giác BDC bằng diện tích tam giác ABC = AB = 5 cm.

c) Ta có AD // BM (vì ABDM là hình bình hành), nên góc ADC = góc BDM.

Vì BM là đường cao của tam giác ABC, nên góc BDM = 90 độ.

Vậy, góc ADC = 90 độ, nên M là trực tâm của tam giác ADC.

d) Ta có I là trung điểm của MC, nên IM // BC (vì ABDM là hình bình hành).

Gọi P là giao điểm của NI và BC. Ta cần chứng minh NP vuông góc với BC.

Vì IM // BC, nên góc NPI = góc MCI = góc BCD (do MC // BD).

Vì M là trực tâm của tam giác ADC, nên góc BCD = 90 độ.

Vậy, góc NPI = 90 độ, nên tam giác NHI là tam giác vuông.