a) Xét (O) có:

          M ∈ (O) (cát tuyến qua A cắt (O) tại M)

           A ∈ (O) ((O) và (O') giao nhau tại A)

          C ∈ (O) (AC là đường kính)

⇒ ΔMAC vuông tại M (t/c)

⇒ MC ⊥ MN (1)

     Xét (O') có:

          N ∈ (O') (cát tuyến qua A cắt (O') tại N)

           A ∈ (O') ((O) và (O') giao nhau tại A)

          D ∈ (O') (AC là đường kính)

⇒ ΔNAD vuông tại D (t/c)

⇒ MN ⊥ AD (2)

Từ (1), (2) ⇒ MC // AN (⊥MN)

      Xét tứ giác MNDC có:

                 MC // AN (cmt)

⇒ MNDC là hình thang (dhnb hình thang)

Mà góc CMA = 90 độ (MC ⊥ AM)

      góc AND = 90 độ (AN ⊥ ND)

⇒ MNDC là hình thang vuông (dhnb hình thang vuông)

b) Gọi F,  G lần lượt là hình chiếu của O, O' trên MN.

⇒ OF ⊥ MN = {F} (t/c)

    O'G ⊥ MN = {G} (t/c)

⇒ OF // O'G (từ vuông góc tới song song)

     Xét tứ giác OFGO' có:

                OF // O'G (cmt)

⇒ OFGO' là hình thang (dhnb hình thang)

Mà góc O'GF = 90 độ (OF ⊥ MN)

      góc OFG = 90 độ (O'G ⊥ MN)

⇒ OFGO' là hình thang vuông (dhnb hình thang vuông)

     Xét ΔMAC có:

            O là trung điểm của AC (AC là đường kính của (O))

            MC // FO (⊥AM)

⇒ F là trung điểm của AM (đ/l)  (3)

      Xét ΔNAD có:

            O' là trung điểm của AD (AD là đường kính của (O'))

            ND // O'G (⊥AN)

⇒ G là trung điểm của AN (đ/l)  (4)

Mà ta có: AM = AN (gt)     (5)

Từ (3),(4),(5) ⇒ AF = AG

⇒ A là trung điểm của FG.

       Xét  hình thang vuông OFGO' có:

               A là trung điểm của FG (cmt)

               E là trung điểm của OO' (gt)

⇒ AE là đường trung bình (định nghĩa)

⇒ AE // FO (t/c)

Mà FO ⊥ MN (gt)

⇒ AE ⊥ MN

Mà A ∈ E (AE là bán kính đường tròn (E))

=> MN là tiếp tuyến của đường tròn (E;AE) (định nghĩa).