Cho hai đường tròn \( (O) \) và \( (O') \) cắt nhau tại \( A \) và \( B \). Qua \( A \) kẻ một đường thẳng \( m \) bất kỳ cắt đường tròn \( (O) \) và \( (O') \) tại \( C \) và \( D \). Qua \( A \) lại kẻ một đường thẳng \( n \) bất kỳ cắt đường tròn tại \( E \) và \( F \) sao cho \( \overline{BAD} = \overline{BAE} \). Gọi \( I \) và \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( B \) lên \( CD \) và \( EF \)

Để chứng minh hai phần của bài toán, ta sẽ xem xét từng phần một:

**Phần a: Chứng minh \( \triangle BID \cong \triangle BHF \)**

1. **Xem xét hai tam giác:**
- \( \triangle BID \) có các điểm \( B, I, D \).
- \( \triangle BHF \) có các điểm \( B, H, F \).

2. **Các yếu tố đã cho:**
- \( \angle BAD = \angle BAE \) (điều kiện đã cho).
- \( BI \perp CD \) và \( BH \perp EF \) (hình chiếu vuông góc).

3. **Sử dụng các yếu tố:**
- Ta có \( BI = BH \) (độ dài của đường vuông góc từ B đến các đường thẳng là bằng nhau do cùng một điểm B).
- Hai góc: \( \angle AID = \angle AHF = 90^\circ \) (do hai đoạn thẳng đều vuông góc với các cạnh tương ứng).

4. **Áp dụng tiêu chuẩn đồng dạng:**
- \( \triangle BID \) và \( \triangle BHF \) có \( BI = BH \), \( BD = BF \) (cùng độ dài từ B đến các điểm trên đường tròn), và hai góc tại A là bằng nhau.
- Do đó, ta suy ra \( \triangle BID \cong \triangle BHF \) (có thể sử dụng tiêu chuẩn \( AAS \)).

**Phần b: Chứng minh \( CD = EF \)**

1. **Sử dụng đồng dạng tam giác:**
- Từ phần a ta có \( \triangle BID \cong \triangle BHF \).
- Từ sự đồng dạng này, ta suy ra \( \frac{CD}{EF} = \frac{BI}{BH} \).

2. **Giá trị của \( BI = BH \):**
- Bởi vì \( I \) và \( H \) là hai hình chiếu vuông góc từ B lên hai đường thẳng \( CD \) và \( EF \), nên \( BI = BH = d \) (một độ dài cố định).

3. **Kết luận:**
- Khi \( BI = BH \), thì từ tỉ số đồng dạng ta có \( CD = EF \).

Tóm lại, đã chứng minh cả hai phần yêu cầu của đề bài bằng cách sử dụng các tính chất của hình học phẳng và đồng dạng tam giác.